题目内容

已知函数.        

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.

 

【答案】

(1)当时，取得最小值. (2)的取值范围是. 

【解析】

试题分析：(1)的定义域为，  1分  

的导数.    2分

令，解得；令，解得.

从而在单调递减，在单调递增.    4分

所以，当时，取得最小值.         6分

(2)依题意，得在上恒成立，

即不等式对于恒成立 .   

令，  则.   8分

当时，因为，  

故是上的增函数，  所以 的最小值是，  10分

所以的取值范围是.    12分

考点：应用导数研究函数的单调性、最值，不等式恒成立问题。

点评：中档题，本题属于导数应用中的常见问题，通过研究函数的单调性，明确最值情况。涉及不等式恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，得到确定参数（范围）的目的。对数函数要注意其真数大于0.

 

练习册系列答案
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已知函数f（x）=ax3+bx2-2x+c在x=-2时有极大值6，在x=1时有极小值，
（1）求a，b，c的值；
（2）求f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值．
已知函数f(x)=2
3
a•sinx•cosx•cos2x-6cos22x+3，且f(
π
24
)=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的周期T和单调递增区间；
（Ⅱ）若f（θ）=-3，且θ∈(-
5π
24
，
π
24
)，求θ的值．
已知函数y=asinx+bcosx+c的图象上有一个最低点(
11π
6
，-1)．
（Ⅰ）如果x=0时，y=-
3
2
，求a，b，c．
（Ⅱ）如果将图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的
3
π
，然后将所得图象向左平移一个单位得到y=f（x）的图象，并且方程f（x）=3的所有正根依次成为一个公差为3的等差数列，求y=f（x）的解析式．
已知函数f（x）=x2-4，设曲线y=f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1，0）（n∈N*），其中x1为正实数．
（Ⅰ）用xn表示xn+1；
（Ⅱ）若x1=4，记an=lg
xn+2xn-2
，证明数列{an}成等比数列，并求数列{xn}的通项公式；
（Ⅲ）若x1=4，bn=xn-2，Tn是数列{bn}的前n项和，证明Tn＜3．
精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（　　）
A、f(x)=2sin(
1
2
x+
π
6
)
B、f(x)=2sin(
1
2
x-
π
6
)
C、f(x)=2sin(2x-
π
6
)
D、f(x)=2sin(2x+
π
6
)

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