题目内容

已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB、AD所成的角分别为α、β（如图1），则cos2α+cos2β=1．用类比的方法，把它推广到空间长方体中，试写出相应的一个真命题并证明．
有如下命题：长方体ABCD-A'B'C'D'中，对角线AC'与棱AB、AD、AA'所成的角分别为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=1…（4分）
证明：∵cosα=
AB
AC′
，C#Ocosβ=
AD
AC′
，cosγ=
AA′
AC′
…（10分）
∴cos2α+cos2β+cos2γ=
AB2+AD2+AA′2
AC′2
=
AC′2
AC′2
=1…（13分）
此题答案不唯一，只要类比写出的命题为真并证明，都应给相应的分数
练习册系列答案
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在中，猜想的最大值，并证明之。
在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则
S1
S2
=
1
4
，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P-ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则
V1
V2
=______．
可作为四面体的类比对象的是（　　）
A．四边形B．三角形C．棱锥D．棱柱
下面给出了关于复数的四种类比推理：
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；
②由向量a的性质|
a
|2=
a
2类比得到复数z的性质|z|2=z2；
③方程ax2+bx+c=0（a，b，c⊆R）有两个不同实数根的条件是b2-4ac＞0可以类比得到：方程az2+bz+c=0（a，b，c⊆C）有两个不同复数根的条件是b2-4ac＞0；
④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．
其中类比错误的是______．
如图，对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a，而52的“分裂”中最大的数是b，则a+b=______．
如图1，若射线OM，ON上分别存在点M1，M2与点N1，N2，则
S△OM1N1
S△OM2N2
=
OM1
OM2
•
ON1
ON2
；如图2，若不在同一平面内的射线OP，OQ和OR上分别存在点P1，P2，点Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？说明理由．
方程x2+4ax-4a+3=0与x2+2ax-2a=0中至少有一方程有实根，则实数a的取值范围是（　　）
A．（-
3
2
，0）		B．[-2，0]
C．a≤-
3
2
或a≥
1
2
D．a≤-
3
2
或a≥0
用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程 有有理实数根，那么，，中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（）
A．假设，，至多有一个是偶数
B．假设，，至多有两个偶数
C．假设，，都是偶数
D．假设，，都不是偶数

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