Question

已知P、Q、M、N四点都在中心为坐标原点，离心率为

2

2

，左焦点为F（-1，0）的椭圆C上，已知

PF

与

FQ

共线，

MF

与

FN

共线，

PF

•

MF

=0．
（1）求椭圆C的方程；
（2）试用直线PQ的斜率k（k≠0）表示四边形PMQN的面积S，求S的最小值．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆方程，利用离心率为

2

2

，左焦点为F（-1，0）的椭圆C上，求出几何量，即可得到椭圆的方程；
（2）设出直线方程，代入椭圆方程，求出|PQ|，|MN|，表示出面积，利用基本不等式，即可得到结论．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则a²=b²+c²
∵c=1，

c

a

=

2

2

∴a=

2

，b=1
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）由题意，PQ与MN垂直于F，设PQ的方程为y=k（x+1），与椭圆方程联立，可得
（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=-

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

∴|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

2 2 (1+k2)

1+2k2

同理，|MN|=

2 2 (1+k2)

2+k2

∴S_PMQN=

1

2

|PQ||MN|=2-

2k2

2k4+5k2+2

=2-

2

2k2+ 2 k2 +5

≥

16

9

当且仅当k=±1时，取等号
∴四边形PMQN的面积的最小值为

16

9

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查四边形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．