Question

7．已知函数h（x）是定义在（-4，4）上的奇函数，且x∈（0，4）时，h（x）=-log₂x．
（1）求h（x）的解析式；
（2）当x∈（-4，0）时，不等式[h（x）+2]²＞h（x）m-1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质，利用对称性进行求解即可．
（2）利用参数分离法进行分解，结合函数的性质求出最值即可．

解答 解：（1）若x∈（-4，0），则-x∈（0，4），
∵x∈（0，4）时，h（x）=-log₂x
∴当-x∈（0，4）时，h（-x）=-log₂（-x），
∵h（x）是定义在（-4，4）上的奇函数，
∴h（-x）=-log₂（-x）=-h（x），
即h（x）=log₂（-x），x∈（-4，0），
则h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lo{g}_{2}x，}&{x∈（0，4）}\\{0}&{0}\\{l0{g}_{2}（-x），}&{x∈（-4，0）}\end{array}\right.$．
（2）当x∈（-4，0）时，h（x）=log₂（-x），
若不等式[h（x）+2]²＞h（x）m-1
即不等式h²（x）+4h（x）+4＞h（x）m-1，
即h²（x）+4h（x）+5＞h（x）m，
若x∈（-4，-1）时，h（x）=log₂（-x）∈（0，2），
则不等式等价为m＜$\frac{{h}^{2}（x）+4h（x）+5}{h（x）}$=h（x）+$\frac{5}{h（x）}$+4，
∵当若x∈（-4，-1）时，h（x）=log₂（-x）＞0，
∴则y=h（x）+$\frac{5}{h（x）}$+2则（0，2）上为减函数，
则 y＞2+$\frac{5}{2}$+4=$\frac{17}{2}$，
则m≤$\frac{17}{2}$，
当x∈（-1，0）时，h（x）=log₂（-x）＜0，
则不等式等价为m＞$\frac{{h}^{2}（x）+2h（x）+5}{h（x）}$=h（x）+$\frac{5}{h（x）}$+2，
∵h（x）+$\frac{5}{h（x）}$+2≤-2$\sqrt{（-h（x））•\frac{5}{-h（x）}}$+2=2-2$\sqrt{5}$
∴此时m≥2-2$\sqrt{5}$，
综上实数m的取值范围是
（2-2$\sqrt{5}$，$\frac{17}{2}$]．

点评 本题主要考查函数解析式的求解以及不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决本题的关键．