Question

17．已知椭圆C的中心在原点，左右焦点分别为F₁（-1，0）和F₂（1，0），点M（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆上，过点P（-4，0）的直线l与椭圆交于A，B两点．
（1）求椭圆的方程
（2）记△ABF₁的面积为S，求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过左右焦点可知c²=a²-b²=1，通过将点M（1，$\frac{3}{2}$）代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）计算可知$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，进而计算可得结论；
（2）通过设直线l方程为x=my-4（m≠0），从而点F₁（-1，0）到直线l的距离d=$\frac{3}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，通过联立直线l与椭圆方程、利用韦达定理及两点间距离公式计算可知|AB|=12•$\frac{\sqrt{{m}^{2}-4}•\sqrt{{m}^{2}+1}}{4+3{m}^{2}}$，计算可知${S}_{△AB{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$•d•|AB|=18•$\frac{\sqrt{{m}^{2}-4}}{4+3{m}^{2}}$，通过换元令$\sqrt{{m}^{2}-4}$=t（t＞0）、利用基本不等式计算即得结论．

解答 解：（1）∵左右焦点分别为F₁（-1，0）和F₂（1，0），
∴c²=a²-b²=1，①
设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
又∵点M（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆上，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，②
联立①、②，解得：b²=3或b²=-$\frac{3}{4}$（舍），
∴a²=1+b²=1+3=4，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）∵直线l过点P（-4，0）与椭圆交于A，B两点，且点P（-4，0）在椭圆外，
∴直线l的斜率存在且不为0，设直线l方程为：x=my-4（m≠0），
则点F₁（-1，0）到直线l的距离d=$\frac{|-1×1+4|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
联立直线l与椭圆方程，消去x整理得：（4+3m²）y²-24my+36=0，
设A（x₁，y₁）、B（x₂、y₂），则y₁+y₂=$\frac{24m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{36}{4+3{m}^{2}}$，
∴|y₁-y₂|²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂
=（$\frac{24m}{4+3{m}^{2}}$）²-4•$\frac{36}{4+3{m}^{2}}$
=$\frac{144（{m}^{2}-4）}{（4+3{m}^{2}）^{2}}$，
即|y₁-y₂|=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}-4}}{4+3{m}^{2}}$，∴|x₁-x₂|=$\frac{12m\sqrt{{m}^{2}-4}}{4+3{m}^{2}}$，
∴|AB|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²
=（$\frac{12m\sqrt{{m}^{2}-4}}{4+3{m}^{2}}$）²+（$\frac{12\sqrt{{m}^{2}-4}}{4+3{m}^{2}}$）²
=$\frac{144（{m}^{2}-4）（{m}^{2}+1）}{（4+3{m}^{2}）^{2}}$，
∴|AB|=12•$\frac{\sqrt{{m}^{2}-4}•\sqrt{{m}^{2}+1}}{4+3{m}^{2}}$，
∴${S}_{△AB{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$•d•|AB|
=$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$•12•$\frac{\sqrt{{m}^{2}-4}•\sqrt{{m}^{2}+1}}{4+3{m}^{2}}$
=18•$\frac{\sqrt{{m}^{2}-4}}{4+3{m}^{2}}$，
记$\sqrt{{m}^{2}-4}$=t（t＞0），则m²=t²+4，
∴${S}_{△AB{F}_{1}}$=$\frac{18t}{16+3{t}^{2}}$=$\frac{18}{3t+\frac{16}{t}}$≤$\frac{18}{2\sqrt{3t×\frac{16}{t}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
当且仅当3t=$\frac{16}{t}$即t=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$时取等号，
∴S的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．