Question

6．在直角坐标系中，直线l过点P（2，1），倾斜角为45°，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{12}{4sin^2θ+3cos^2θ}$．
（1）求直线l的参数方程和曲线C的普通方程．
（2）设直线l与曲线C交于A、B于两点，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由直线l过点P（2，1），倾斜角为45°，可得直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），利用即可把曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{12}{4sin^2θ+3cos^2θ}$，化为直角坐标方程．
（2）把直线l的参数方程代入椭圆的方程可得：$7{t}^{2}+16\sqrt{2}t+8$=0，利用|PA|•|PB|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（1）由直线l过点P（2，1），倾斜角为45°，可得直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{12}{4sin^2θ+3cos^2θ}$，化为4y²+3x²=12，即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）把直线l的参数方程代入椭圆的方程可得：$7{t}^{2}+16\sqrt{2}t+8$=0，
∴t₁t₂=$\frac{8}{7}$．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{8}{7}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线的参数方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．