Question

12．已知F为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，定点A为双曲线虚轴的一个顶点，过F，A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴左侧的交点为B，若$\overrightarrow{FA}$=（$\sqrt{2}$-1）$\overrightarrow{AB}$，则此双曲线的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 设F（c，0），A（0，-b），渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，求出AF的方程与y=$\frac{b}{a}$x联立可得B（$\frac{ac}{a-c}$，$\frac{bc}{a-c}$），利用$\overrightarrow{FA}$=（$\sqrt{2}$-1）$\overrightarrow{AB}$，可得a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：设F（c，0），A（0，-b），渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，则
直线AF的方程为$\frac{x}{c}-\frac{y}{b}$=1，与y=$\frac{b}{a}$x联立可得B（$\frac{ac}{a-c}$，$\frac{bc}{a-c}$），
∵$\overrightarrow{FA}$=（$\sqrt{2}$-1）$\overrightarrow{AB}$，
∴（-c，-b）=（$\sqrt{2}$-1）（$\frac{ac}{a-c}$，$\frac{bc}{a-c}$+b），
∴-c=（$\sqrt{2}$-1）$\frac{ac}{a-c}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
故选：A．

点评 本题考查双曲线的性质，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．