已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相交.则该双曲线的离心率的取值范围是( )A．B．C．D．(1.2) 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

4．已知双曲线

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ 的渐近线与圆x²+（y-2）²=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）

A．

（

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ ，+∞）

B．

（1，

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ ）

C．

（2．+∞）

D．

（1，2）

分析先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于半径求得a和b的关系，进而利用c²=a²+b²求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．

解答解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x²+（y-2）²=1相交
∴圆心到渐近线的距离小于半径，即 $\frac{2a}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$ ＜1
∴3a²＜b²，
∴c²=a²+b²＞4a²，
∴e= $\frac{c}{a}$ ＞2
故选：C．

点评本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用．

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