题目内容

6.已知f(x)=2asinωxcosωx+2$\sqrt{3}{cos^2}ωx-\sqrt{3}({a>0,ω>0})$的最大值为2,且最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的解析式及其对称轴方程;
(2)若$f({α-\frac{π}{6}})=\frac{4}{3}$,求cos4α的值.

分析 (1)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f(x)=$\sqrt{{a}^{2}+3}$sin(2ωx+φ),(其中,tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{a}$),由f(x)的最大值为$\sqrt{{a}^{2}+3}$=2,解得a=1.又最小正周期为π.利用周期公式可得解得ω=1,即可得函数解析式,由2x+$\frac{π}{3}$=k$π+\frac{π}{2}$,k∈Z可解得对称轴方程.
(2)由$f({α-\frac{π}{6}})=\frac{4}{3}$,利用(1)结论可得sin2α=$\frac{2}{3}$,根据二倍角的余弦函数公式即可求值.

解答 解:(1)∵f(x)=2asinωxcosωx+2$\sqrt{3}{cos^2}ωx-\sqrt{3}({a>0,ω>0})$
=asin2ωx+$\sqrt{3}$cos2ωx
=$\sqrt{{a}^{2}+3}$sin(2ωx+φ),(其中,tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{a}$),
∵f(x)的最大值为$\sqrt{{a}^{2}+3}$=2,解得:a=1.
又∵最小正周期为π.利用周期公式可得:$π=\frac{2π}{2ω}$,解得ω=1.
∴f(x)=2sin(2x+$\frac{π}{3}$),
∴由2x+$\frac{π}{3}$=k$π+\frac{π}{2}$,k∈Z可解得对称轴方程为:x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$,k∈Z.
(2)∵$f({α-\frac{π}{6}})=\frac{4}{3}$,
∴2sin[2($α-\frac{π}{6}$)+$\frac{π}{3}$]=2sin2α=$\frac{4}{3}$,解得:sin2α=$\frac{2}{3}$.
∴cos4α=1-2sin22α=1-2×$\frac{4}{9}$=$\frac{1}{9}$.

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,三角函数周期公式的应用,正弦函数的图象和性质,属于基本知识的考查.

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