Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为

2

的正方形，侧面PDC⊥底面ABCD，O为底面正方形ABCD的中心，M为PA的中点．
（Ⅰ）求证：OM∥平面PCD；
（Ⅱ）当PD=PC=1时，证明：CP⊥平面PAD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接AC，则OM是三角形ACP的中位线，故有MO∥PC，从而证得 OM∥平面PCD．
 （Ⅱ）由面面垂直的性质可得AD⊥PC，由勾股定理可得PD⊥PC，CP⊥平面PAD．

解答：解：（Ⅰ）连接AC，∵四边形ABCD为正方形，∴O为AC中点． 
又∵M为PA的中点，∴MO∥PC，
又∵PC?平面PCD，OM?平面PCD，∴OM∥平面PCD．
（Ⅱ）∵侧面PDC⊥底面ABCD，AD⊥CD，
∴AD⊥平面PCD，∴AD⊥PC．
又∵PD=PC=1，DC=

2

，
∴PD⊥PC，且AD∩PD=D，∴CP⊥平面PAD．

点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，证明PD⊥PC是解题的关键．