Question

12．f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，且对任意x，y∈（0，+∞）恒有f（xy）=f（x）+f（y）成立，
（1）求f（1）的值；
（2）证明：当x＞0时，f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）；
（3）判定函数g（t）=t+$\frac{4}{t+2}$．当t≥1时的单调性（写出论证过程），并求对一切实数t≥1，恒有f（t+$\frac{4}{t+2}$）≥f（m）成立的实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令y=1，求f（1）的值；
（2）令y=$\frac{1}{x}$，证明当x＞0时，f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）；
（3）利用定义证明g（t）为增函数，因f（x）定义域为{x|x＞0}，显然m＞0，又因f（x）在区间x＞0上为增函数则由f（t+$\frac{4}{t+2}$）≥f（m）恒成立，必有g（t）≥g_min≥m，即可求出实数m的取值范围．

解答 （1）解：令y=1，则f（x•1）=f（x）+f（1），即f（1）=0；
（2）证明：令y=$\frac{1}{x}$，则f（x•$\frac{1}{x}$）=f（x）+f（$\frac{1}{x}$），即f（1）=f（x）+f（$\frac{1}{x}$），
而f（1）=0，则f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=0，即f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）；
（3）先讨论g（t）=t+$\frac{4}{t+2}$（t≥1）的单调性
令1≤t₁＜t₂，则g（t₂）-g（t₁）=（t₂-t₁）[1-$\frac{4}{（{t}_{2}+2）（{t}_{1}+2）}$]，
因t₂+2＞3，t₁+2≥3，则有（t₂+2）（t₁+2）＞9，即有1-$\frac{4}{（{t}_{2}+2）（{t}_{1}+2）}$＞0，
而t₂-t₁＞0，
所以g（t₂）-g（t₁）＞0，表明g（t）为增函数；
再确定g（t）的最小值：因g（t）在区间t≥1上为增函数，显然g_min=g（1）=$\frac{7}{3}$，
最后确定m的取值范围，因f（x）定义域为{x|x＞0}，显然m＞0，
又因f（x）在区间x＞0上为增函数则由f（t+$\frac{4}{t+2}$）≥f（m）恒成立，必有g（t）≥g_min≥m，即m≤$\frac{7}{3}$．
综上知m取值范围为0＜m≤$\frac{7}{3}$．

点评 本题考查抽象函数的单调性，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，正确变形是关键．