题目内容
【题目】已知点
是椭圆
上一动点，点
分别是左、右两个焦点.
面积的最大值为
，且椭圆的长轴长为
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点
，
在椭圆上，已知两点
，
，且以
为直径的圆经过坐标原点
.求证：
的面积
为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
（1）根据题意建立方程求出
，即可得到椭圆方程；
（2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，当直线MN斜率不存在时易求三角形面积，当直线MN斜率存在时，设
联立椭圆，根据弦长公式及点到直线的距离求三角形面积即可.
（1）由题意知，当点
在短轴端点时，
面积的最大值为
，
所以
，解得
或
，
因为
，所以
，所以
.
所以椭圆标准方程为；
（2）以
为直径的圆经过坐标原点
，则
，
又
，所以
.
①当直线
的斜率不存在时，由题意知
，
又
，所以
，
；
②当直线的斜率存在时，设其方程为，
联立
，得
.
则
，
所以
，
代入整理得：
，
此时
，
点到直线的距离
，所以
，
综上, 
的面积
为定值
.
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