Question

4．某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．
（I）求直方图中x的值；
（Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；
（Ⅲ）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

Answer 1

分析 （I）由直方图可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，解得x即可．
（II）企业缴税收不少于60万元的频率=0.003×2×20=0.12，即可得出1200个企业中有1200×0.12个企业可以申请政策优惠．
（III）X的可能取值为0，1，2，3，4．由（I）可得：某个企业缴税少于20万元的概率=0.0125×20=$\frac{1}{4}$．因此X～B（4，$\frac{1}{4}$），可得分布列为P（X=k）=${∁}_{4}^{k}（\frac{1}{4}）^{k}（\frac{3}{4}）^{4-k}$，（k=0，1，2，3，4），再利用E（X）=4×$\frac{1}{4}$即可得出．

解答 解：（I）由直方图可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，
解得x=0.0125．
（II）企业缴税收不少于60万元的频率=0.003×2×20=0.12，
∴1200×0.12=144．
∴1200个企业中有144个企业可以申请政策优惠．
（III）X的可能取值为0，1，2，3，4．
由（I）可得：某个企业缴税少于20万元的概率=0.0125×20=0.25=$\frac{1}{4}$．
因此X～B（4，$\frac{1}{4}$），
∴分布列为P（X=k）=${∁}_{4}^{k}（\frac{1}{4}）^{k}（\frac{3}{4}）^{4-k}$，（k=0，1，2，3，4），
∴E（X）=4×$\frac{1}{4}$=1．

点评 本题考查了频率分布直方图的有关性质、随机变量服从二项分布的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．