已知动点A在椭圆 C:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1上.动点B在直线 x=-2上.且满足 $\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$.椭圆C上点 $M(\frac{{\sqrt{3}}}{2}.3)$到两焦点距离之和为 4$\sqrt{3}$(Ⅰ)求椭圆C方程．(Ⅱ)判断直线AB与圆x2+y2=3� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

14．已知动点A在椭圆 C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上，动点B在直线 x=-2上，且满足 $\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$（O为坐标原点），椭圆C上点 $M（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，3）$到两焦点距离之和为 4$\sqrt{3}$
（Ⅰ）求椭圆C方程．
（Ⅱ）判断直线AB与圆x²+y²=3的位置关系，并证明你的结论．

分析（Ⅰ）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{2a=4\sqrt{3}}\\{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，求出a，b，即可求椭圆C方程．
（Ⅱ）设出点A，B的坐标分别为（x₀，y），（-2，t），直线AB的方程为（y₀-t）x-（x₀+2）y+（tx₀+2y₀）=0，由OA⊥OB得到t=$\frac{2{x}_{0}}{{y}_{0}}$，然后由圆x²+y²=3的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB与圆x²+y²=3相切．

解答解：（Ⅰ）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{2a=4\sqrt{3}}\\{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
∴a=2$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C方程为$\frac{{y}^{2}}{12}+\frac{{x}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）直线AB与圆x²+y²=3相切，
证明如下：
设点A，B的坐标分别为（x₀，y₀），（-2，t），直线AB的方程为（y₀-t）x-（x₀+2）y+（tx₀+2y₀）=0．
∵OA⊥OB，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即-2x₀+ty₀=0，解得t=$\frac{2{x}_{0}}{{y}_{0}}$．
圆心O到直线AB的距离d=$\frac{|t{x}_{0}+2{y}_{0}|}{\sqrt{（{y}_{0}-t）^{2}+（{x}_{0}+2）^{2}}}$=$\frac{6|4-{{x}_{0}}^{2}|}{\sqrt{12（{{x}_{0}}^{4}-8{{x}_{0}}^{2}+16）}}$=$\sqrt{3}$
∴直线AB与圆x²+y²=3相切．

点评本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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