题目内容
【题目】为半椭圆
的左、右两个顶点,
为上焦点,将半椭圆和线段
合在一起称为曲线
(1)求的外接圆圆心的坐标
(2)过焦点的直线
与曲线
交于
两点,若
,求所有满足条件的直线
的方程
(3)对于一般的封闭曲线,曲线上任意两点距离的最大值称为该曲线的“直径”,如圆的“直径”就是通常的直径,椭圆的“直径”就是长轴的长,求该曲线的“直径”
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】
(1)先根据已知条件求出的三边长,可得
为边长为
的等边三角形,再利用等边三角形的性质,即可求得外接圆圆心的坐标;
(2)设出方程,与椭圆方程联立方程组,得出
,用弦长公式求出
的长,用含
的式子表示,根据
,即可求出
值;
(3)先设曲线上两动点的坐标,代入两点间距离公式,再利用放缩法,以及椭圆上点的范围即可求出两动点间距离的范围,进而求出“直径”长.
(1)由题意可知:
则,
,
故
为边长为
的等边三角形
根据等边三角形外心和重心重合,
三角形的重心坐标公式为: ,
设的外接圆圆心的坐标为
,
,
故外接圆圆心的坐标为:.
(2)
记椭圆的上顶点坐标为
①若直线与曲线
的两交点,一个在椭圆上,另一个在线段
上,如图.
,
,即此时
,
只有直线
符合题意.
②设点两点都在椭圆上,
直线
将椭圆和直线
联立方程组,消掉
:
则: 得
即
由韦达定理可得:
由弦长公式得: 解得:
当时,直线
当时,直线
综上所述,满足题意的直线有三条分别为:
.
(3)设曲线上两动点
显然至少有一点在椭圆上时
才能取得最大
不妨设
则
等号成立时:,
或
,
由两点距离公式可得:
故曲线的“直径”为:
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为保护农民种粮收益,促进粮食生产,确保国家粮食安全,调动广大农民粮食生产的积极性,从2004年开始,国家实施了对种粮农民直接补贴.通过对2014~2018年的数据进行调查,发现某地区发放粮食补贴额(亿元)与该地区粮食产量
(万亿吨)之间存在着线性相关关系.统计数据如下表:
年份 | 2014年 | 2015年 | 2016年 | 2017年 | 2018年 |
补贴额 | 9 | 10 | 12 | 11 | 8 |
粮食产量 | 23 | 25 | 30 | 26 | 21 |
(1)请根据如表所给的数据,求出关于
的线性回归直线方程
;
(2)通过对该地区粮食产量的分析研究,计划2019年在该地区发放粮食补贴额7亿元,请根据(1)中所得的线性回归直线方程,预测2019年该地区的粮食产量.
(参考公式:,
)