题目内容
【题目】若存在实常数和
,使得函数
和
对其定义域上的任意实数
分别满足:
和
,则称直线
为
和
的“隔离直线”.已知
,
为自然对数的底数).
(1)求的极值;
(2)函数和
是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)当时,
取极小值,其极小值为
(2)函数
和
存在唯一的隔离直线
【解析】试题分析:(1)由已知中函数f(x)和φ(x)的解析式,求出函数F(x)的解析式,根据求导公式,求出函数的导数,根据导数判断函数的单调性并求极值;(2)由(1)可知,函数f(x)和φ(x)的图象在(,e)处相交,即f(x)和φ(x)若存在隔离直线,那么该直线必过这个公共点,设隔离直线的斜率为k.则隔离直线方程为y-e=k(x-
),即y=kx-k
+e,根据隔离直线的定义,构造方程,可求出k值,进而得到隔离直线方程
试题解析:(1)
,
.
当时,
.
当
时,
,此时函数
递减;
当时,
,此时函数
递增;
∴当时,
取极小值,其极小值为
.
(2)解法一:由(1)可知函数和
的图象在
处有公共点,因此若存在
和
的隔离直线,则该直线过这个公共点.
设隔离直线的斜率为,则直线方程为
,即
.
由,可得
当
时恒成立.
,
由
,得
.
下面证明当
时恒成立.
令,则
,
当时,
.
当
时,
,此时函数
递增;
当时,
,此时函数
递减;
∴当时,
取极大值,其极大值为
.
从而,即
恒成立.
∴函数和
存在唯一的隔离直线
.
解法二:由(Ⅰ)可知当时,
(当且当
时取等号).
若存在和
的隔离直线,则存在实常数
和
,使得
和
恒成立,令
,则
且
,即
.后面解题步骤同解法一.
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