Question

（2006•朝阳区二模）已知函数f（x）=x³-

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2

mx2+n，1＜m＜2
（Ⅰ）若f（x）在区间[-1，1]上的最大值为1，最小值为-2，求m、n的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；
（Ⅲ）设函数f（x）的导函数为g（x），函数F（x）=

g(x)+3x+1

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•e2x，试判断函数F（x）的极值点个数，并求出相应实数m的范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用导数求出函数f（x）在[-1，1]上的最大值、最小值，然后令其分别为1、-2可得方程，解出即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x³-2x²+1，易知点P（2，1）在曲线f（x）上．分点P为切点、不为切点两种情况讨论：当点P为切点时由导数可得斜率，利用点斜式可得切线方程；当点P不是切点时，设切点为Q（x₀，y₀）（x₀≠2），同上可得切线方程，代入点P坐标可得关于x₀的方程，解出方程可得；
（Ⅲ）易求F（x）表达式，进而可得F′（x），由方程F′（x）=0根的情况可判断极值点的个数及m的取值范围；

解答：解（Ⅰ）∵f′（x）=3x²-3mx=3x（x-m），
∴由f′（x）=0，得x₁=0，x₂=m．
又1＜m＜2，x∈[-1，1]，
∴当x∈[-1，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x∈[0，1]时，f′（x）＜0，f（x）递减．
∴f（x）在区间[-1，1]上的最大值为f（0）=n，∴n=1．
又f（1）=1-

3

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m+1=2-

3

2

m，f（-1）=-1-

3

2

m+1=-

3

2

m，∴f（-1）＜f（1），
由题意得f（-1）=-2，即-

3

2

m=-2，m=

4

3

．
故m=

4

3

，n=1为所求．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x³-2x²+1，易知点P（2，1）在曲线f（x）上．
又f′（x）=3x²-4x，∴当切点为P（2，1）时，切线l的斜率k=f′（2）=4，
∴l的方程为y-1=4（x-2），即4x-y-7=0．
当切点P不是切点时，设切点为Q（x₀，y₀）（x₀≠2），切线l的斜率k=f′（x₀）=3x02-4x0，
∴l的方程为y-y₀=（3x02-4x0）（x-x₀）．
又点P（2，1）在l上，∴1-y₀=（3x02-4x₀）（2-x₀），
∴1-(x03-2x02+1)=(3x02-4x0)(2-x0)，
∴x02(2-x0)=(3x02-4x0)(2-x0)，
∴x02=3x02-4x0，即2x₀（x₀-2）=0，∴x₀=0．
∴切线l的方程为y=1．
故所求切线l的方程为4x-y-7=0或y=1．
（Ⅲ）由已知得g（x）=f′（x）=3x²-3mx，
∴F（x）=

g(x)+3x+1

6

•e2x=

1

6

(3x2-3mx+3x+1)•e2x，
∴F′（x）=

1

6

（6x-3m+3）•e^2x+

1

3

(3x2-3mx+3x+1)•e2x
=[x2+(2-m)x+

1

6

(5-3m)]•e^2x．
∵e^2x＞0，二次函数y=x2+(2-m)x+

1

6

(5-3m)的判别式为△=(2-m)2-4×

1

6

(5-3m)，
整理，得△=m2-2m+

2

3

=(m-1)2-

1

3

．
又1＜m＜2，
∴当1＜m≤1+

3

3

时，△≤0，此时F′（x）≥0，函数F（x）为单调递增，极值点个数为0；
当1+

3

3

＜m＜2时，△＞0，此时方程F′（x）=0有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数F（x）有两个极值点．

点评：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的极值、最值，考查函数与方程思想，考查学生分析解决问题的能力．