Question

设f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=-x²+4x．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并解不等式f（x）≥x；
（Ⅱ）设g（x）=2^x-1+m，若对任意x₁∈[-1，4]，总存在x₂∈[2，5]，使f（x₁）=g（x₂），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数奇偶性的性质即可求f（x）的解析式，并解不等式f（x）≥x；
（Ⅱ）根据指数函数的图象和性质，结合方程根与函数之间的关系，建立条件关系，即可求实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当x=0时，f（x）=0；
当x＜0时，有-x＞0，
由f（x）=-f（-x）=-[-（-x）²+4（-x）]=x²+4x．
∴f（x）的解析式为f(x)=

-x2+4x，x≥0 x2+4x， x＜0.

，
当x≥0时，f（x）≥x为-x²+4x≥x，解得0≤x≤3；
当x＜0时，f（x）≥x为x²+4x≥x，解得x≤-3．
故不等式f（x）≥x的解集是{x|x≤-3或0≤x≤3}．
（Ⅱ）当-1≤x＜0时，f（x）=x²+4x=（x+2）²-4，
知f（x）∈[-3，0）；
当0≤x≤4时，f（x）=-x²+4x=-（x-2）²+4，
知f（x）∈[0，4]，
∴当x₁∈[-1，4]时，f（x₁）∈[-3，4]．
∵g（x）=2^x-1+m是R上的增函数，
∴当x₂∈[2，5]时，g（x₂）∈[2+m，16+m]，
∵对任意x₁∈[-1，4]，总存在x₂∈[2，5]使f（x₁）=g（x₂），
∴[-3，4]⊆[2+m，16+m]，
则

2+m≤-3 16+m≥4

，解得-12≤m≤-5，
故实数m的取值范围是[-12，-5]．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数与方程之间的关系，利用函数的奇偶性将变量进行转化是解决本题的关键．