Question

16．如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 先证明△ABC是等边三角形，从而得到△EDC是等边三角形，边长为2，而$\widehat{BE}$和弦BE围成的部分的面积=$\widehat{DE}$和弦DE所围成的部分的面积，由此能求出图中阴影部分的面积之和．

解答 解：连结AE、OD、OE，
∵AB是直径，∴∠AEB=90°，
又∵∠BED=120°，∴∠AED=30°，
∴∠AOD=2∠AED=60°，
∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形，
∴∠OAD=60°，
∵点E为BC的中点，∠AEB=90°，
∴AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，边长是4，△EDC是等边三角形，边长是2，
∴∠BOE=∠EOD=60°，
∴$\widehat{BE}$和弦BE围成的部分的面积=$\widehat{DE}$和弦DE所围成的部分的面积，
∴阴影部分的面积之和=S_△EDC=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}=\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题考查几何图形中阴影部分的面积之和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．