Question

14．已知函数f（x）=（sinx+cosx）cosx，则下列说法正确的为（　　）

• A． 函数f（x）的最小正周期为2π
• B． f（x）的最大值为$\sqrt{2}$
• C． f（x）的图象关于直线x=-$\frac{π}{8}$对称
• D． 将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{8}$，再向下平移$\frac{1}{2}$个单位长度后会得到一个奇函数的图象

Answer 1

分析 由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，分别求出其周期，最大值，对称轴即可判断A，B，C，由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及正弦函数的性质即可判断D选项．

解答 解：∵f（x）=（sinx+cosx）cosx
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，A错误；
f（x）的最大值为：$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，B错误；
由2x+$\frac{π}{4}$=kπ$+\frac{π}{2}$，解得f（x）的图象的对称轴为：x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{8}$，k∈Z，故C错误；
将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{8}$，得到g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$图象，再向下平移$\frac{1}{2}$个单位长度后会得到h（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x的图象，而h（x）是奇函数．故正确．
故选：D．

点评 本题主要考查了二倍角的余弦公式，两角和与差的正弦函数公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基本知识的考查．