Question

14．已知椭圆γ：$\frac{x^2}{a^2}$+y²=1（常数a＞1）的左顶点为R，点A（a，1），B（-a，1），O为坐标原点．
（Ⅰ）若P是椭圆γ上任意一点，$\overrightarrow{OP}$=$m\overrightarrow{OA}$+$n\overrightarrow{OB}$，求m²+n²的值；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是椭圆γ上的两个动点，满足k_OM•k_ON=k_OA•k_OB，试探究△OMN的面积是否为定值，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出P（ma-na，m+n）代入椭圆方程，即可得到m²+n²的值．
（Ⅱ）法一：①当MN的斜率不存在时，不妨设M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁）且x₁＞0，y₁＞0，通过斜率乘积，以及椭圆方程，求解三角形的面积．
②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+t，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，通过斜率关系，然后求出弦长，点到直线的距离求解三角形的面积．
解法二：转化条件得，$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{1}{a^2}$，然后表示出三角形的面积，推出结果即可．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}=（{ma-na，m+n}）$，得P（ma-na，m+n）…（2分）
将P代入椭圆$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1$得$\frac{{{a^2}{{（m-n）}^2}}}{a^2}+{（m+n）^2}=1$
化简得${m^2}+{n^2}=\frac{1}{2}$…（5分）
（Ⅱ）法一：①当MN的斜率不存在时，不妨设M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁）且x₁＞0，y₁＞0
由${k_{OM}}•{k_{ON}}=-\frac{y_1^2}{x_1^2}={k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{1}{a^2}$化简得 $x_1^2={a^2}x_1^2$，
联立椭圆方程解得$M（\frac{{\sqrt{2}a}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，$N（\frac{{\sqrt{2}a}}{2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
故${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}•x•2y=\frac{1}{2}•\frac{{\sqrt{2}}}{2}a•\sqrt{2}=\frac{a}{2}$（为定值）…（6分）
②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+t
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1}\\{y=kx+t}\end{array}}\right.⇒（{1+{a^2}{k^2}}）{x^2}+2kt{a^2}x+{a^2}（{{t^2}-1}）=0$
由M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可得${x_1}+{x_2}=\frac{{-2kt{a^2}}}{{1+{a^2}{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{{a^2}（{{t^2}-1}）}}{{1+{a^2}{k^2}}}$…（7分）
${y_1}{y_2}=（{k{x_1}+t}）（{k{x_2}+t}）={k^2}{x_1}{x_2}+kt（{{x_1}+{x_2}}）x+{t^2}=\frac{{{t^2}-{a^2}{k^2}}}{{1+{a^2}{k^2}}}$，
又${k_{OM}}•{k_{ON}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{1}{a^2}$，可得2t²=a²k²+1…（9分）
因为$MN=\sqrt{1+{k^2}}•|{{x_1}-{x_2}}|$，
点O到直线MN的距离$d=\frac{|t|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$…（10分）
${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}•MN•d=\frac{|t|}{2}•|{{x_1}-{x_2}}|$=$\frac{|t|}{2}•\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\frac{|t|}{2}•\sqrt{\frac{{4{a^2}（{1+{a^2}{k^2}-{t^2}}）}}{{{{（{1+{a^2}{k^2}}）}^2}}}}=\frac{a}{2}$
综上：△OMN的面积为定值$\frac{a}{2}$…（13分）
解法二：由条件得，$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{1}{a^2}$…（6分）
平方得${x_1}^2{x_2}^2={a^4}{y_1}^2{y_2}^2=（{a^2}-{x_1}^2）（{a^2}-{x_2}^2）$，即${x_1}^2+{x_2}^2={a^2}$…（7分）
${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}|{{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}}|$…（8分）
=$\frac{1}{2}\sqrt{{x_1}^2{y_2}^2+{x_2}^2{y_1}^2-2{x_1}{x_2}{y_1}{y_2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{{x_1}^2（1-\frac{{{x_2}^2}}{a^2}）+{x_2}^2（1-\frac{{{x_1}^2}}{a^2}）+\frac{{2{x_1}^2{x_2}^2}}{a^2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2}=\frac{a}{2}$…（12分）
故△OMN的面积为定值$\frac{a}{2}$…（13分）

点评 本题考查直线与椭圆的综合应用，弦长公式以及三角形的面积个数的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．