Question

1．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+2x²+ax+b，g（x）=e^x（cx+d），且函数f（x）的导函数为f′（x），若曲线f（x）和g（x）都过点A（0，2），且在点A处有相同的切线y=4x+2．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）若x≥-2时，mg（x）≥f′（x）-2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；
（II）令φ（x）=2me^x（x+1）-x²-4x-2，求出导函数，令φ'（x）=0得x₁=-lnm，x₂=-2，通过对m的讨论，确定函数的单调性，可得最值，即可求出m的范围．

解答 解：（I）由已知得f（0）=2，g（0）=2，f'（0）=4，g'（0）=4，
而f'（x）=x²+4x+a，g'（x）=e^x（cx+d+c）
故b=2，d=2，a=4，c=2；
（Ⅱ）令φ（x）=2me^x（x+1）-x²-4x-2，
则φ'（x）=2me^x（x+2）-2x-4=2（x+2）（me^x-1）
因φ（0）≥0，则m≥1，
令φ'（x）=0得x₁=-lnm，x₂=-2，
（1）若1≤m＜e²，则-2＜x₁≤0，从而x∈（-2，x₁）时φ'（x）＜0；
当x∈（x₁，+∞）时φ'（x）＞0，
即φ（x）在 （-2，x₁）单调递减，在（x₁，+∞）单调递增，
故φ（x）在[-2，+∞）的最小值φ（x₁），
φ（x₁）=2m${e}^{{x}_{1}}$（x₁+1）-x₁²-4x₁-4=-2x₁+2-x₁²-4x₁-2=-x₁²-2x₁=-x₁（2+x₁）≥0，
故当x≥-2时φ（x）≥0，即mg（x）≥f'（x）+2恒成立．   
（2）若m=e²，则φ'（x）=2e²（x+2）（e^x-e^-2），
从而当x≥-2时φ'（x）≥0，即φ（x）在[-2，+∞）单调递增，
而φ（-2）=0，故当x≥-2时φ（x）≥0，即mg（x）≥f'（x）+2恒成立．
（3）若m＞e²，则φ（-2）=-2me^-2+2=-2e^-2（m-e²）＜0，
从而当x≥-2时，mg（x）≥f'（x）+2不可能恒成立．    
综上：m的取值范围是[1，e²]．

点评 此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．