Question

19．已知cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3}{5}$，sin（$\frac{π}{4}$+β）=-$\frac{12}{13}$，α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），β∈（π，$\frac{5π}{4}$），则sin（α+β）=-$\frac{56}{65}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得 sin（$\frac{π}{4}$-α）和cos（$\frac{π}{4}$+β）的值，再利用两角差的正弦公式求得sin（α+β）=sin[（$\frac{π}{4}$+β）-（$\frac{π}{4}$-α）]的值．

解答 解：∵cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3}{5}$，sin（$\frac{π}{4}$+β）=-$\frac{12}{13}$，α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），β∈（π，$\frac{5π}{4}$），
∴$\frac{π}{4}$-α∈（-$\frac{π}{2}$，0），$\frac{π}{4}$+β∈（$\frac{5π}{4}$，$\frac{3π}{2}$），
∴sin（$\frac{π}{4}$-α）=-$\sqrt{{1-cos}^{2}（\frac{π}{4}-α）}$=-$\frac{4}{5}$，cos（$\frac{π}{4}$+β）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（\frac{π}{4}-α）}$=-$\frac{5}{13}$，
∴sin（α+β）=sin[（$\frac{π}{4}$+β）-（$\frac{π}{4}$-α）]=sin（$\frac{π}{4}$+β）cos（$\frac{π}{4}$-α）-cos（$\frac{π}{4}$+β）sin（$\frac{π}{4}$-α）
=-$\frac{12}{13}$•$\frac{3}{5}$-（-$\frac{5}{13}$）•（-$\frac{4}{5}$）=-$\frac{56}{65}$，
故答案为：-$\frac{56}{65}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的差正弦公式的应用，要特别注意符号的选取，属于基础题．