题目内容
已知α，β是关于x的二次方程2x2-tx-2=0的两个根，且α＜β，若函数f(x)=
．
（1）求
的值；
（2）对任意x1，x2∈（α，β），求证：|f（x1）-f（x2）|＜2|α-β|．
| 4x-t |
| x2+1 |
（1）求
| f(α)-f(β) |
| α-β |
（2）对任意x1，x2∈（α，β），求证：|f（x1）-f（x2）|＜2|α-β|．
分析：（1）利用韦达定理，直接代入计算，可得结论；
（2）先证明函数在（α，β）上单调递增，再利用（1）的结论，即可得到结论．
（2）先证明函数在（α，β）上单调递增，再利用（1）的结论，即可得到结论．
解答：（1）解：由题意，α+β=
，αβ=-1，则t=2α+2β
∴
=
=2(
+
)=2×
=2×
=2×
=2；
（2）证明：求导函数可得f′(x)=
∵x∈（α，β），∴2x2-tx-2＜0，
∴-4x2+2tx+4＞0，∴f′（x）＞0
∴f（x）在（α，β）上单调递增
∴|f（x1）-f（x2）|＜f（β）-f（α）
由（1）知，f（β）-f（α）=2（β-α）
∴|f（x1）-f（x2）|＜2|α-β|．
| t |
| 2 |
∴
| f(α)-f(β) |
| α-β |
| ||||
| α-β |
| 1 |
| α2+1 |
| 1 |
| β2+1 |
| α2+β2+2 |
| (αβ)2+(α2+β2)+1 |
| α2+β2+2 |
| 1+(α2+β2)+1 |
| α2+β2+2 |
| α2+β2+2 |
（2）证明：求导函数可得f′(x)=
| -4x2+2tx+4 |
| (x2+1)2 |
∵x∈（α，β），∴2x2-tx-2＜0，
∴-4x2+2tx+4＞0，∴f′（x）＞0
∴f（x）在（α，β）上单调递增
∴|f（x1）-f（x2）|＜f（β）-f（α）
由（1）知，f（β）-f（α）=2（β-α）
∴|f（x1）-f（x2）|＜2|α-β|．
点评：本题考查韦达定理的运用，考查不等式的证明，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．
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