Question

已知x₁，x₂是关于x的方程x²-ax+a²-a+

1

4

=0的两个实根，那么

x1x2

x1+x2

的最小值为

0

，最大值为

1

4

．

Answer 1

分析：因为方程x²-ax+a²-a+

1

4

=0有两个实根，所以△≥0，解出a的取值范围；再利用根与系数的关系，可求出f（a）=

x1x2

x1+x2

=

a2-a+ 1 4

a

，再利用求导即可求出其最值．

解答：解：∵已知x₁，x₂是关于x的方程x²-ax+a²-a+

1

4

=0的两个实根，
∴x₁+x₂=a，x1x2=a2-a+

1

4

；△≥0，即a2-4(a2-a+

1

4

)≥0，化为3a²-4a+1≤0，解得

1

3

≤a≤1．
令f（a）=

x1x2

x1+x2

=

a2-a+ 1 4

a

=a+

1

4a

-1，则f′(a)=1-

1

4a2

=

(2a+1)(2a-1)

4a2

，令f^′（a）=0，解得a=±

1

2

，
∵

1

3

≤a≤1，∴a=

1

2

．
当

1

3

≤a＜

1

2

时，f^′（a）＜0；当

1

2

＜a≤1时，f^′（a）＞0．
∴f（a）在区间[

1

3

，

1

2

)上单调递减，在区间(

1

2

，1]上单调递增．
∴f（a）在a=

1

2

时取得极小值即最小值f（

1

2

）=

1

2

+

1

2

-1=0；
而f（

1

3

）=

1

3

+

3

4

-1=

1

12

，f（1）=1+

1

4

-1=

1

4

，
∴f（a）的最大值是f（1）=

1

4

．
故所求的最小值是0，最大值是

1

4

．
故答案为0，

1

4

．

点评：本题考查了方程的根与系数的关系和利用导数求最值，掌握其方法是解决问题的关键．