题目内容
【题目】已知点,点
,
分别为椭圆
的左右顶点,直线
交
于点
,
是等腰直角三角形,且
.
(1)求的方程;
(2)设过点的动直线
与
相交于
,
两点,
为坐标原点.当
为直角时,求直线
的斜率.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)由题意知,求得,再由
,代入椭圆方程,解得
,即可得到椭圆的方程;
(2)设l的方程为y=kx+2,与椭圆的方程联立方程组,利用二次方程中根与系数的关系,求得,又由∠MON能为直角时,利用
列出方程,即可求解.
(1)由题意知,a=2,B(2,0),设Q(x0,y0),由,得
,
代入椭圆方程,解得b2=1. ∴椭圆方程为.
(2)由题意可知,直线l的斜率存在,令l的方程为y=kx+2,M(x1,y1),N(x2,y2),
则整理得:(1+4k2)x2+16kx+12=0,
由直线l与E有两个不同的交点,则△>0,
即(16k)2﹣4×12×(1+4k2)>0,解得.
由韦达定理可知:.
当∠MON能为直角时,,即
,
则x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4
,解得k2=4,即
.
综上可知,直线l的斜率时,∠MON为直角.
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