题目内容
【题目】【2018江西南康中学、于都中学上学期第四次联考】椭圆上动点
到两个焦点的距离之和为4,且到右焦点距离的最大值为
.
(I)求椭圆的方程;
(II)设点为椭圆的上顶点,若直线
与椭圆
交于两点
(
不是上下顶点)
.试问:直线
是否经过某一定点,若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由;
(III)在(II)的条件下,求面积的最大值.
【答案】(I);(II)过定点
;(III)
.
【解析】试题分析:(1)由题意布列关于a,b的方程组,解之即可;(2)联立直线与椭圆方程消去y得到关于x的一元二次方程,然后借助韦达定理,将向量的数量积为零表示出来,得到方程,进而求出定点。(3) 第三问的面积则是将拆分成
和
两个三角形面积之和,表达面积后,利用换元法简化表达式,再利用均值不等式求最值即可.
试题解析:
(1)由已知得:2a=4∴a=2, ,
,b=1, ∴椭圆C的方程为:
.
(2)依题意可设直线(k必存在),
,将
代入椭圆方程得
.
,
,
∵∴
,
∴
,∵点B为椭圆的上顶点,且
,∴
,
,
或
(舍去),,∴直线l
必过定点
.
(3)不难得到: ,
,
令,则
,
∴(当
,即
时取等号).
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