题目内容

【题目】已知函数,其导函数的两个零点为.

(I)求曲线在点处的切线方程;

(II)求函数的单调区间;

(III)求函数在区间上的最值.

【答案】(I);(II)增区间是 ,减区间是;(III)最大值为,最小值为.

【解析】试题分析:(I)求出,由解得,根据导数的几何意义可得切线斜率,利用点斜式可得切线方程;(II)求出得增区间, 得减区间;(III)根据(II)求出函数的极值,与区间端点出的函数值进行比较即可得结果.

试题解析:(I).

,解得

从而

所以

曲线在点处的切线方程为

.

(II)由于,当变化时, 的变化情况如下表:

0

0

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

的单调增区间是 ,单调减区间是.

(III)由于

故函数在区间上的最大值为,最小值为.

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、导数的几何意义,属于难题.利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤:①确定函数的定义域;②对求导;③令,解不等式得的范围就是递增区间;令,解不等式得的范围就是递减区间;④根据单调性求函数的极值及最值(闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小).

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