Question

8．已知O是△ABC所在平面内一点．
（1）已知D为BC边中点，且2$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，证明：$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OD．}$；
（2）已知$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，△BOC的面积为2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）如图所示，以OB，OC为邻边作平行四边形OBEC，可得$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OE}=2\overrightarrow{OD}$，已知2$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，可得$2\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{0}$，即可证明．
（2）如图所示，作OD=2OB，OE=3OC，可得$\overrightarrow{OA}+\overline{OD}+\overline{OE}$=$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，可得点O是△ADC的重心．由于△BOC的面积为2，可得$\frac{{S}_{△BOC}}{{S}_{△ODC}}$=$\frac{OB•OC}{OD•OE}$=$\frac{1}{6}$=$\frac{2}{{S}_{△ODC}}$，可得S_△ODC=12，同理可得S_△OAE=S_△OAD=12，即可得出．

解答 （1）证明：如图所示，
以OB，OC为邻边作平行四边形OBEC，
则$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OE}=2\overrightarrow{OD}$，
∵2$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，
∴$2\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OD．}$
（2）解：如图所示，
作OD=2OB，OE=3OC，
则$\overrightarrow{OA}+\overline{OD}+\overline{OE}$=$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴点O是△ADC的重心．
∵△BOC的面积为2，
∴$\frac{{S}_{△BOC}}{{S}_{△ODC}}$=$\frac{OB•OC}{OD•OE}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$=$\frac{2}{{S}_{△ODC}}$，可得S_△ODC=12，
同理可得S_△OAE=S_△OAD=12，
可得S_△OAC=$\frac{1}{3}$S_△OAE=4，S_△OAB=$\frac{1}{2}{S}_{△OAD}$=6，
∴S_△ABC=S_△OBC+S_△OAC+S_△OAB=2+4+6=12．

点评 本题考查了向量的平行四边形法则、三角形的重心性质、三角形的面积计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．