Question

在平面直角坐标系xOy中，已知F₁（-4，0），直线l：x=-2，动点M到F₁的距离是它到定直线l距离的

2

倍．设动点M的轨迹曲线为E．
（1）求曲线E的轨迹方程．
（2）设点F₂（4，0），若直线m为曲线E的任意一条切线，且点F₁、F₂到m的距离分别为d₁，d₂，试判断d₁d₂是否为常数，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用动点M到F₁的距离是它到定直线l距离的

2

倍，建立方程，化简可得曲线E的轨迹方程；
（2）分类讨论，设出切线方程代入双曲线方程，利用根的判别式及点到直线的距离公式，即可得到结论．

解答：解：（1）由题意，设点M（x，y），则有|MF1|=

(x+4)2+y2

，点M（x，y）到直线的距离d=|x-（-2）|=|x+2|，故

(x+4)2+y2

=

2

|x+2|，化简后得：x²-y²=8．
故动点M的轨迹方程为x²-y²=8
（2）d₁d₂是常数，证明如下：
若切线m斜率不存在，则切线方程为x=±2

2

，此时d1d2=(c+a)(c-a)=b2=8
当切线m斜率存在时，设切线m：y=kx+b，代入x²-y²=8，整理得：x²-（kx+b）²=8，
∴（1-k²）x²-2bkx-（b²+8）=0
由△=（-2bk）²+4（1-k²）（b²+8）=0，化简得：b²=8k²-8
又由m：kx-y+b=0，∴d1=

|-4k+b|

k2+1

，  d2=

|4k+b|

k2+1

，
∴d1d2=

|16k2-b2|

k2+1

=

|16k2-(8k2-8)|

k2+1

=8=常数．
综上，故对任意切线m，d₁d₂是常数

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．