题目内容
【题目】设函数在
上有定义,实数
和
满足
.若
在区间
上不存在最小值,则称
在区间
上具有性质P.
(1)当,且
在区间
上具有性质P,求常数C的取值范围;
(2)已知,且当
时,
,判别
在区间
上是否具有性质P;
(3)若对于满足的任意实数
和
,
在区间
上具有性质P,且对于任意
,当
时,有:
,证明:当
时,
.
【答案】(1);(2)具有性质
;(3)证明见解析.
【解析】
(1)由对称轴可得;
(2)求出在
上的函数解析式,判断出函数在
上后一个区间上的函数值都比前一个区间上的函数值大,从而函数最小值(如果有)只能在第一个区间
上取得,但在
上函数无最小值,因此可得出结论;
(3)由绝对值的性质知,即
夹在
和
之间,如果
,则
在
上有最小值,不具有性质
,与已知矛盾,从而只能是
,然后只要说明对任意的
,一定有
,
,则必有
,而
,因此结论显然成立.
(1),对称轴
,当
时,
是最小值,当
时,
是最小值,只有当
,即
时,
在
是递增,无最小值;
(2)时,
,
,同理
时,
,
,
即,易知当
时,
是最大值,而对任意的
,
,
,都有
恒成立,
∴时,若
有最小值,则只有在
时取得,但当
时,
是减函数,无最小值,∴
在
上无最小值,具有性质
;
(3)对于任意,当
时,
有:,
∴,
若成立,则
在
上有最小值
,不具有性质
,不合题意,所以只有
.
显然有,
则对任意的,则一定存在
,使得
则
,
,
∴,即
.

【题目】近年来,我国工业经济发展迅速,工业增加值连年攀升,某研究机构统计了近十年(从2008年到2017年)的工业增加值(万亿元),如下表:
年份 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
工业增加值 | 13.2 | 13.8 | 16.5 | 19.5 | 20.9 | 22.2 | 23.4 | 23.7 | 24.8 | 28 |
依据表格数据,得到下面的散点图及一些统计量的值.
5.5 | 20.6 | 82.5 | 211.52 | 129.6 |
(1)根据散点图和表中数据,此研究机构对工业增加值(万亿元)与年份序号
的回归方程类型进行了拟合实验,研究人员甲采用函数
,其拟合指数
;研究人员乙采用函数
,其拟合指数
;研究人员丙采用线性函数
,请计算其拟合指数,并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好.(注:相关系数
与拟合指数
满足关系
).
(2)根据(1)的判断结果及统计值,建立关于
的回归方程(系数精确到0.01);
(3)预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关.
附:样本
的相关系数
,
,
,
.