题目内容
【题目】设数列的前
项和为
,
,
.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列满足:
对于任意,都有
成立.
①求数列的通项公式;
②设数列,问:数列
中是否存在三项,使得它们构成等差数列?若存在,求出这三项;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),
.(2)①
,
.②见解析.
【解析】分析:(1)当时,类比写出
,两式相减整理得
,当
时,求得
,从而求得数列
的通项公式.;
(2)①将代入已知条件,用与(1)相似的方法,变换求出数列
的通项公式;
②由的通项公式分析,得
…,假设存在三项
,
,
成等差数列,且
,则
,即
,根据数列
的单调性,化简得
,将
或
代入已知条件,即可得到结论.
详解:解:(1)由, ①
得, ②
由①-②得,即
对①取得,
,所以
,所以
为常数,
所以为等比数列,首项为1,公比为
,即
,
.
(2)①由,可得对于任意
有
, ③
则, ④
则, ⑤
由③-⑤得,
对③取得,
也适合上式,
因此,
.
②由(1)(2)可知,
则,
所以当时,
,即
,
当时,
,即
在
且
上单调递减,
故…,
假设存在三项,
,
成等差数列,其中
,
,
,
由于…,可不妨设
,则
(*),
即,
因为,
,
且
,则
且
,
由数列的单调性可知,
,即
,
因为,所以
,
即,化简得
,
又且
,所以
或
,
当时,
,即
,由
时,
,此时
,
,
不构成等差数列,不合题意,
当时,由题意
或
,即
,又
,代入(*)式得
,
因为数列在
且
上单调递减,且
,
,所以
,
综上所述,数列中存在三项
,
,
或
,
,
构成等差数列.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目