题目内容

点M(m,4)m>0为抛物线x2=2py(p>0)上一点,F为其焦点,已知|FM|=5,
(1)求m与p的值;
(2)以M点为切点作抛物线的切线,交y轴与点N,求△FMN的面积.
(1)∵点M(m,4)m>0为抛物线x2=2py(p>0)上一点,F为其焦点,已知|FM|=5,
∴抛物线定义可知,|FM|=
p
2
+4=5

∴p=2,
∴抛物线的方程为x2=4y,
又∵M(m,4)在抛物线上,
∴m2=4×4,
∴m=4,
故p=2,m=4;
(2)由(1)可知,M(4,4),
由题意可知,切线的斜率k必定存在,
∴设过M点的切线方程为,y-4=k(x-4),
联立方程组可得,
x2=4y
y-4=k(x-4)

消去y可得,x2-4kx+16k-16=0,
∵直线为抛物线的切线,则直线与抛物线只有一个交点,
∴x2-4kx+16k-16=0只有一个根,
∴△=16k2-64(k-1)=0,
∴k=2,
∴切线方程为y=2x-4,
∴切线与y轴的交点为N(0,-4),且抛物线的焦点为F(0,1),
S△FMN=
1
2
|FN|•m=
1
2
×5×4=10

故△FMN的面积为10.
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