题目内容
已知函数f(x)=ax2-(4a+2)x+4lnx,其中a≥0.
(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
解(1)当a=0时,f(x)=-2x+4lnx,
从而f′(x)=-2+
,其中x>0.
所以f′(1)=2.
又切点为(1,-2),
所以所求切线方程为y+2=2(x-1),即2x-y-4=0.
(2)因为f(x)=ax2-(4a+2)x+4lnx,
所以f′(x)=2ax-(4a+2)+
=
=
,其中x>0.
①当a=0时,f′(x)=-
,x>0.
由f′(x)>0得,0<x<2,所以函数f(x)的单调增区间是(0,2);单调减区间是(2,+∞);
②当0<a<
时,因为
>2,由f′(x)>0,得x<2或x>
.
所以函数f(x)的单调增区间是(0,2)和(
,+∞);单调减区间为(2,
);
③当a=
时,f′(x)=
≥0,且仅在x=2时,f′(x)=0,
所以函数f(x)的单调增区间是(0,+∞);
④当a>
时,因0<
<2,由f′(x)>0,得0<x<
或x>2,
所以函数f(x)的单调增区间是(0,
)和(2,+∞);单调减区间为(
,2).
综上,
当a=0时,f(x)的单调增区间是(0,2),单调减区间是(2,+∞);
当0<a<
时,f(x)的单调增区间是(0,2)和(
,+∞),减区间为(2,
);
当a=
时,f(x)的单调增区间是(0,+∞);
当a>
时,f(x)的单调增区间是(0,
)和(2,+∞),减区间为(
,2).
从而f′(x)=-2+
4 |
x |
所以f′(1)=2.
又切点为(1,-2),
所以所求切线方程为y+2=2(x-1),即2x-y-4=0.
(2)因为f(x)=ax2-(4a+2)x+4lnx,
所以f′(x)=2ax-(4a+2)+
4 |
x |
2ax2-(4a+2)x+4 |
x |
2(ax-1)(x-2) |
x |
①当a=0时,f′(x)=-
2(x-2) |
x |
由f′(x)>0得,0<x<2,所以函数f(x)的单调增区间是(0,2);单调减区间是(2,+∞);
②当0<a<
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2 |
1 |
a |
1 |
a |
所以函数f(x)的单调增区间是(0,2)和(
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a |
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a |
③当a=
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(x-2)2 |
x |
所以函数f(x)的单调增区间是(0,+∞);
④当a>
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a |
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a |
所以函数f(x)的单调增区间是(0,
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a |
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a |
综上,
当a=0时,f(x)的单调增区间是(0,2),单调减区间是(2,+∞);
当0<a<
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a |
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a |
当a=
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当a>
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