Question

(2014·武汉模拟)已知点P是圆M：x²+(y+m)²=8(m>0,m≠)上一动点,点N(0,m)是圆M所在平面内一定点,线段NP的垂直平分线l与直线MP相交于点Q.
(1)当P在圆M上运动时,记动点Q的轨迹为曲线Г,判断曲线Г为何种曲线,并求出它的标准方程.
(2)过原点斜率为k的直线交曲线Г于A,B两点,其中A在第一象限,且它在x轴上的射影为点C,直线BC交曲线Г于另一点D,记直线AD的斜率为k′,是否存在m,使得对任意的k>0,都有|k·k′|=1?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

（1）双曲线  -=1
（2）存在，m=

(1)因为|QN|=|QP|,
所以||QM|-|QN||=|PM|=2.
①当2<2m时,动点Q的轨迹曲线Г为以点M,N为焦点,2a=2为实轴的双曲线,其标准方程为-=1.
②当2>2m时,动点Q无轨迹.
(2)如图所示,

设A(x₁,y₁),D(x₀,y₀),则B(-x₁,-y₁),C(x₁,0).
则y₁=kx₁.
直线BC的方程为y=(x-x₁),即y=(x-x₁).
联立化为(m²k²-2k²-8)x²-2k²(m²-2)x₁x+(m²-2)(k²-8)=0.
所以-x₁+x₀=,
所以k′==
=-.
若存在m,使得对任意的k>0,都有|k·k′|=1,
则=1,
整理得m²=6,解得m=±(负值舍去).
因此存在m,且当m=时,满足题意.