题目内容

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn , 并且满足2Sn=an2+n,an>0(n∈N*).
(1)求a1 , a2 , a3
(2)猜想{an}的通项公式,并加以证明;
(3)设x>0,y>0,且x+y=1,证明:

【答案】
(1)解:分别令n=1,2,3,得

∵an>0,∴a1=1,a2=2,a3=3.


(2)证法一:猜想:an=n,

由2Sn=an2+n①

可知,当n≥2时,2Sn1=an12+(n﹣1)②

①﹣②,得2an=an2﹣an12+1,即an2=2an+an12﹣1.

1)当n=2时,a22=2a2+12﹣1,∵a2>0,∴a2=2;

2)假设当n=k(k≥2)时,ak=k.那么当n=k+1时,

ak+12=2ak+1+ak2﹣1=2ak+1+k2﹣1[ak+1﹣(k+1)][ak+1+(k﹣1)]=0,

∵ak+1>0,k≥2,

∴ak+1+(k﹣1)>0,

∴ak+1=k+1.这就是说,当n=k+1时也成立,

∴an=n(n≥2).显然n=1时,也适合.

故对于n∈N*,均有an=n.

证法二:猜想:an=n,

1)当n=1时,a1=1成立;

2)假设当n=k时,ak=k.

那么当n=k+1时,2Sk+1=ak+12+k+1.∴2(ak+1+Sk)=ak+12+k+1,

∴ak+12=2ak+1+2Sk﹣(k+1)=2ak+1+(k2+k)﹣(k+1)=2ak+1+(k2﹣1)

(以下同证法一)


(3)证法一:要证

只要证 ≤2(n+2),

即n(x+y)+2+ ≤2(n+2),

将x+y=1代入,得 ≤n+2,

即要证4(n2xy+n+1)≤(n+2)2,即4xy≤1.

∵x>0,y>0,且x+y=1,∴

即xy≤ ,故4xy≤1成立,所以原不等式成立.

证法二:∵x>0,y>0,且x+y=1,∴

当且仅当 时取“=”号.

当且仅当 时取“=”号.

① +②,得( =n+2,

当且仅当 时取“=”号.

证法三:可先证

,a+b≥

∴2a+2b≥

,当且仅当a=b时取等号.

令a=nx+1,b=ny+1,即得: =

当且仅当nx+1=ny+1即 时取等号


【解析】(1)分别令n=1,2,3,列出方程组,能够求出求a1 , a2 , a3;(2)证法一:猜想:an=n,由2Sn=an2+n可知,当n≥2时,2Sn1=an12+(n﹣1),所以an2=2an+an12﹣1再用数学归纳法进行证明;证法二:猜想:an=n,直接用数学归纳法进行证明.(3)证法一:要证 ,只要证n(x+y)+2+ ≤2(n+2),将x+y=1代入,得 ≤n+2,即要证4xy≤1.由均值不等式知4xy≤1成立,所以原不等式成立.
证法二:由题设知 ,所以( =n+2,由此可导出
证法三:先证 ,然后令a=nx+1,b=ny+1,即得: =

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