Question

【题目】已知函数f（x）=sinx﹣cosx+x+1，x∈[0，2π]
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）求函数f（x）的极小值和最大值，并写明取到极小值和最大值时分别对应x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=sinx﹣cosx+x+1，x∈[0，2π]

则：f′（x）=cosx+sinx+1= sin（x+ ）+1

令f′（x）=0，即sin（x+ ）=﹣ ，

（x∈[0，2π]）

解得：x=π或x= π．

x，f′（x）以及f（x）变化情况如下表：

x	（0，π）	π	（π， π）	π	（ π，2π）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	递增	π+2	递减		递增

根据导函数的值为负区间即为函数f（x）的单调减区间，

∴函数f（x）的单调减区间为（π， π）

（2）解：由（1）知当x= 时，函数f（x）取得极小值，即f （x）极小=f（ π）= ．

当x=π时，函数f（x）取得极大值，即f（π）=π+2，

∴f（x）max=f（2π）=2π，

故得函数f（x）的极小值为 ，此时x= ；最大值为2π，此时x=2π

【解析】（1）利用导函数求解决函数f（x）的单调递减区间；（2）利用单调性求解函数f（x）的极小值和最大值，求对应x的值．
【考点精析】关于本题考查的正弦函数的单调性和三角函数的最值，需要了解正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数；函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，才能得出正确答案．