题目内容
已知曲线C:xy-2kx+k2=0与直线l:x-y+8=0有唯一公共点,而数列{an}的首项为a1=2k,且当n≥2时点(an-1,an)恒在曲线C上,数列{bn}满足关系bn=
①求k的值;
②求证数列{bn}是等差数列;
③求数列{an}的通项公式.
1 | an-2 |
①求k的值;
②求证数列{bn}是等差数列;
③求数列{an}的通项公式.
分析:①联立曲线和直线方程,化为关于x的一元二次方程后由判别式等于0即可求得k的值;
②把k值代入曲线方程,由点(an-1,an)恒在曲线C上得出递推式,由bn=
解得an=2+
.
代入递推式后整理即可证明数列{bn}是等差数列;
③由等差数列的通项公式求出数列{bn}的通项公式,代入an=2+
可求数列{an}的通项公式.
②把k值代入曲线方程,由点(an-1,an)恒在曲线C上得出递推式,由bn=
1 |
an-2 |
1 |
bn |
代入递推式后整理即可证明数列{bn}是等差数列;
③由等差数列的通项公式求出数列{bn}的通项公式,代入an=2+
1 |
bn |
解答:①解:联立
,得x2+(8-2k)x+k2=0
因为曲线C:xy-2kx+k2=0与直线l:x-y+8=0有唯一公共点,
所以方程x2+(8-2k)x+k2=0只有唯一解,
所以△=(8-2k)2-4k2=64-32k=0,所以k=2;
②因为k=2,所以曲线C变成xy-4x+4=0
当n≥2时点(an-1,an)恒在曲线C上,则
an-1an-4an-1+4=0,
由bn=
,所以an=2+
.
则b1=
=
.
所以(2+
)(2+
)-4(2+
)+4=0.
+
+
-
=0
-
+
+
=0.
整理得bn-bn-1=
(n≥2).
所以数列{bn}是首项为
,公差为
的等差数列.
③解:由数列{bn}是首项为
,公差为
的等差数列,
所以bn=
+
(n-1)=
.
an=2+
=2+
=2+
.
|
因为曲线C:xy-2kx+k2=0与直线l:x-y+8=0有唯一公共点,
所以方程x2+(8-2k)x+k2=0只有唯一解,
所以△=(8-2k)2-4k2=64-32k=0,所以k=2;
②因为k=2,所以曲线C变成xy-4x+4=0
当n≥2时点(an-1,an)恒在曲线C上,则
an-1an-4an-1+4=0,
由bn=
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an-2 |
1 |
bn |
则b1=
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a1-2 |
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2 |
所以(2+
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bn-1 |
1 |
bn |
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bn-1 |
2 |
bn-1 |
2 |
bn |
1 |
bn |
1 |
bn-1 |
4 |
bn-1 |
-
2 |
bn-1 |
2 |
bn |
1 |
bn |
1 |
bn-1 |
整理得bn-bn-1=
1 |
2 |
所以数列{bn}是首项为
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2 |
1 |
2 |
③解:由数列{bn}是首项为
1 |
2 |
1 |
2 |
所以bn=
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2 |
1 |
2 |
n |
2 |
an=2+
1 |
bn |
1 | ||
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2 |
n |
点评:本题是圆锥曲线和数列的综合题,考查了直线和圆锥曲线的关系,训练了等差关系的确定,考查了学生综合处理问题和解决问题的能力,是中高档题.
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