题目内容

已知曲线C:xy-2kx+k2=0与直线l:x-y+8=0有唯一公共点,而数列{an}的首项为a1=2k,且当n≥2时点(an-1,an)恒在曲线C上,数列{bn}满足关系bn=
1an-2

①求k的值;
②求证数列{bn}是等差数列;
③求数列{an}的通项公式.
分析:①联立曲线和直线方程,化为关于x的一元二次方程后由判别式等于0即可求得k的值;
②把k值代入曲线方程,由点(an-1,an)恒在曲线C上得出递推式,由bn=
1
an-2
解得an=2+
1
bn

代入递推式后整理即可证明数列{bn}是等差数列;
③由等差数列的通项公式求出数列{bn}的通项公式,代入an=2+
1
bn
可求数列{an}的通项公式.
解答:①解:联立
x-y+8=0
xy-2kx+k2=0
,得x2+(8-2k)x+k2=0
因为曲线C:xy-2kx+k2=0与直线l:x-y+8=0有唯一公共点,
所以方程x2+(8-2k)x+k2=0只有唯一解,
所以△=(8-2k)2-4k2=64-32k=0,所以k=2;
②因为k=2,所以曲线C变成xy-4x+4=0
当n≥2时点(an-1,an)恒在曲线C上,则
an-1an-4an-1+4=0,
bn=
1
an-2
,所以an=2+
1
bn

b1=
1
a1-2
=
1
2

所以(2+
1
bn-1
)(2+
1
bn
)-4(2+
1
bn-1
)+4=0

2
bn-1
+
2
bn
+
1
bn
1
bn-1
-
4
bn-1
=0

-
2
bn-1
+
2
bn
+
1
bn
1
bn-1
=0

整理得bn-bn-1=
1
2
(n≥2).
所以数列{bn}是首项为
1
2
,公差为
1
2
的等差数列.
③解:由数列{bn}是首项为
1
2
,公差为
1
2
的等差数列,
所以bn=
1
2
+
1
2
(n-1)=
n
2

an=2+
1
bn
=2+
1
n
2
=2+
2
n
点评:本题是圆锥曲线和数列的综合题,考查了直线和圆锥曲线的关系,训练了等差关系的确定,考查了学生综合处理问题和解决问题的能力,是中高档题.
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