Question

14．在三棱锥P-ABC中，AC=BC=AP=BP=$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{3}$，AB=2．
（1）求证：PC⊥AB；
（2）求二面角A-PB-C的余弦值的绝对值．

Answer 1

分析 （1）设D为AB中点，连接DC，DP，利用勾股定理的逆定理可得：CD⊥AB，利用等腰三角形的性质可得：PD⊥AB，利用线面垂直的判定定理可得：AB⊥平面PCD．
即可证明PC⊥AB．
（2）如图，建立空间直角坐标系O-xyz．其中AB∥x轴，易得∠PDC=120°，∠PDO=60°，可得PO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OD=$\frac{1}{2}$．设平面PBA的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$．同理可求得平面CBP的一个法向量$\overrightarrow{m}$，利用$|cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出．

解答 （1）证明：设D为AB中点，连接DC，DP，
∵AC=BC=$\sqrt{2}$，AB=2，
∴CD⊥AB，DC=1．
∵PA=PB，AD=DB，
∴PD⊥AB，
又CD∩PD=D，
∴AB⊥平面PCD．
∴PC⊥AB．
（2）解：如图，建立空间直角坐标系O-xyz．其中AB∥x轴，
易得∠PDC=120°，∠PDO=60°，
又PD=DC=1，
∴PO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OD=$\frac{1}{2}$．
则$B（1，\frac{1}{2}，0）$，A$（-1，\frac{1}{2}，0）$，C$（0，\frac{3}{2}，0）$，P$（0，0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
∴$\overrightarrow{AB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{AP}$=$（1，-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
设平面PBA的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{x-\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，
∴平面PBA的一个法向量$\overrightarrow{n}$=$（0，\sqrt{3}，1）$．
∵$\overrightarrow{CB}$=（1，-1，0），$\overrightarrow{CP}$=$（0，-\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
同理可求得平面CBP的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=$（1，1，\sqrt{3}）$，
∴$|cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、向量与数量积的关系、法向量与空间角的求法、等腰三角形的性质、勾股定理的逆定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．