Question

19．已知函数f（x）=m-|x-1|-2|x+1|，若二次函数y=x²+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 由二次函数y=x²+2x+3=（x+1）²+2在x=-1取得最小值2，f（x）在x=-1处取得最大值m-2，故有m-2≥2，由此求得m的范围．

解答 解：由二次函数y=x²+2x+3=（x+1）²+2，该函数在x=-1取得最小值2，
因为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x+1+m，x＜-1}\\{-x-3+m，-1≤x≤1}\\{-3x+m-1，x＞1}\end{array}\right.$在x=-1处取得最大值m-2，
所以要使二次函数y=x²+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，只需m-2≥2，
求得m≥4．

点评 本题主要考查了函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．