题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数 的单调性;
(2)若曲线上存在唯一的点,使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点,求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1) 求出,分四种情况讨论的范围,在定义域内,分别令求得的范围,可得函数的增区间,求得的范围,可得函数的减区间;(2) 曲线在点处的切线方程和联立可得:,设,通过讨论的范围,求出函数的单调区间,判断函数的零点个数,确定的范围即可.
(1),设
①当时,在上大于零,在上小于零,所以在上单调递增,在单调递减;
② 当时,(当且仅当时),所以在上单调递增;
③ 当时,在上大于零,在上小于零,所以在上单调递增,在单调递减;
④当时,在上大于零,在上小于零,所以在上单调递增,在上单调递减.
(2)曲线在点处的切线方程为,切线方程和联立可得:,现讨论该方程根的个数:
设, 所以.
,设,则.
①当时,,所以在上单调递减,
又,所以在上大于零,在上小于零,所以在上单调递增,在上单调递减,
又,所以只有唯一的零点,由的任意性,所以不符合题意;
② 当时,在上小于零,在上大于零,所以在上单调递减,在上单调递增,
当时,在上大于零,在上小于零,所以在上单调递增,在上单调递减,所以在上小于或等于零,且有唯一的零点.
函数开口向上,若其判别式不大于零,
则对任意,有;若其判别式大于零,设其右侧的零点为,则对任意的,有,所以在区间上,存在零点,综上的零点不唯一;
当时,可得,所以在上单调递增,所以其只有唯一的零点;
当时,在上大于零,在上小于零,所以在上单调递增,在上单调递减,所以在上大于或等于零,且有唯一的零点.
函数在区间上一定存在最大值,设为,若,则在上小于零.若,当时,,所以在区间上,存在零点,综上的零点不唯一.
综上,当 时,曲线上存在唯一的点,使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.