题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数 的单调性;
(2)若曲线上存在唯一的点
,使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1) 求出,分四种情况讨论
的范围,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
的增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(2) 曲线
在点
处的切线方程和
联立可得:
,设
,通过讨论
的范围,求出函数的单调区间,判断函数的零点个数,确定
的范围即可.
(1),设
①当时,
在
上大于零,在
上小于零,所以
在
上单调递增,在
单调递减;
② 当时,
(当且仅当
时
),所以
在
上单调递增;
③ 当时,
在
上大于零,在
上小于零,所以
在
上单调递增,在
单调递减;
④当时,
在
上大于零,在
上小于零,所以
在
上单调递增,在
上单调递减.
(2)曲线在点
处的切线方程为
,切线方程和
联立可得:
,现讨论该方程根的个数:
设, 所以
.
,设
,则
.
①当时,
,所以
在
上单调递减,
又,所以
在
上大于零,在
上小于零,所以
在
上单调递增,在
上单调递减,
又,所以
只有唯一的零点
,由
的任意性,所以不符合题意;
② 当时,
在
上小于零,在
上大于零,所以
在
上单调递减,在
上单调递增,
当时,
在
上大于零,在
上小于零,所以
在
上单调递增,在
上单调递减,所以
在
上小于或等于零,且有唯一的零点
.
函数开口向上,若其判别式不大于零,
则对任意,有
;若其判别式大于零,设其右侧的零点为
,则对任意的
,有
,所以在区间
上,存在零点,综上
的零点不唯一;
当时,可得
,所以
在
上单调递增,所以其只有唯一的零点
;
当时,
在
上大于零,在
上小于零,所以
在
上单调递增,在
上单调递减,所以
在
上大于或等于零,且有唯一的零点
.
函数在区间
上一定存在最大值,设为
,若
,则
在
上小于零.若
,当
时,
,所以在区间
上,
存在零点,综上
的零点不唯一.
综上,当
时,曲线
上存在唯一的点
,使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点
.
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