题目内容

【题目】已知函数

(1)讨论函数 的单调性;

(2)若曲线上存在唯一的点,使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点,求实数的取值范围.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】

(1) 求出,分四种情况讨论的范围,在定义域内,分别令求得的范围,可得函数的增区间,求得的范围,可得函数的减区间;(2) 曲线在点处的切线方程和联立可得:,设,通过讨论的范围,求出函数的单调区间,判断函数的零点个数,确定的范围即可.

(1),设

①当时,上大于零,在上小于零,所以上单调递增,在单调递减;

② 当时,(当且仅当),所以上单调递增;

③ 当时,上大于零,在上小于零,所以上单调递增,在单调递减;

④当时,上大于零,在上小于零,所以上单调递增,在上单调递减.

(2)曲线在点处的切线方程为,切线方程和联立可得:,现讨论该方程根的个数:

, 所以.

,设,则.

①当时,,所以上单调递减,

,所以上大于零,在上小于零,所以上单调递增,在上单调递减,

,所以只有唯一的零点,由的任意性,所以不符合题意;

② 当时,上小于零,在上大于零,所以上单调递减,在上单调递增,

时,上大于零,在上小于零,所以上单调递增,在上单调递减,所以上小于或等于零,且有唯一的零点.

函数开口向上,若其判别式不大于零,

则对任意,有;若其判别式大于零,设其右侧的零点为,则对任意的,有,所以在区间上,存在零点,综上的零点不唯一;

时,可得,所以上单调递增,所以其只有唯一的零点

时,上大于零,在上小于零,所以上单调递增,在上单调递减,所以上大于或等于零,且有唯一的零点.

函数在区间上一定存在最大值,设为,若,则上小于零.若,当时,,所以在区间上,存在零点,综上的零点不唯一.

综上,当 时,曲线上存在唯一的点,使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网