题目内容
【题目】已知圆O经过椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点以及两个顶点,且点(b,
)在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l与圆O相切,与椭圆C交于M、N两点,且|MN|=,求直线l的倾斜角.
【答案】(1);(2)
或
【解析】
(1)先由题意得出 ,可得出
与
的等量关系,然后将点的坐标代入椭圆
的方程,可求出
与
的值,从而得出椭圆
的方程;(2)对直线
的斜率是否存在进行分类讨论,当直线
的斜率不存在时,可求出
,然后进行检验;当直线
的斜率存在时,可设直线
的方程为
,设点
,先由直线
与圆
相切得出
与
之间的关系,再将直线
的方程与椭圆
的方程联立,由韦达定理,利用弦长公式并结合条件
得出
的值,从而求出直线
的倾斜角.
(1)由题可知圆只能经过椭圆的上下顶点,所以椭圆焦距等于短轴长,可得
,
又点在椭圆
上,所以
,解得
,
即椭圆的方程为
.
(2)圆的方程为
,当直线
不存在斜率时,解得
,不符合题意;
当直线存在斜率时,设其方程为
,因为直线
与圆
相切,所以
,即
.
将直线与椭圆
的方程联立,得:
,
判别式,即
,
设,则
,
所以,
解得,
所以直线的倾斜角为
或
.
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