Question

12．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$）sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{x}{2}$）-sin（π+x），且函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{4}$对称．
（1）若存在x∈[0，$\frac{π}{2}$），使等式[g（x）]²-mg（x）+2=0成立，求实数m的最大值和最小值
（2）若当x∈[0，$\frac{11π}{12}$]时不等式f（x）+ag（-x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x），g（x）的解析式，确定g（x）∈[1，2]，等式[g（x）]²-mg（x）+2=0，可化为m=y+$\frac{2}{y}$，即可求实数m的最大值和最小值
（2）当x∈[0，$\frac{11π}{12}$]时，f（x）∈[-$\sqrt{2}$，1]，g（-x）∈[-1，1]，利用当x∈[0，$\frac{11π}{12}$]时不等式f（x）+ag（-x）＞0恒成立，求a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{2}$）+sinx=$\sqrt{3}$cosx+sinx=2sin（x+$\frac{π}{3}$）．
函数y=g（x）的图象上取点（x，y），关于直线x=$\frac{π}{4}$对称点的坐标为（$\frac{π}{2}$-x，y），
代入f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$），可得y=2sin（$\frac{5π}{6}$-x），
x∈[0，$\frac{π}{2}$），则$\frac{5π}{6}$-x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，∴y∈[1，2]，
等式[g（x）]²-mg（x）+2=0，可化为m=y+$\frac{2}{y}$，
∴y=$\sqrt{2}$时，m的最小值为2$\sqrt{2}$；m=1或2时，m的最大值为3；
（2）当x∈[0，$\frac{11π}{12}$]时，f（x）∈[-$\sqrt{2}$，1]，g（-x）∈[-1，1]，
∵当x∈[0，$\frac{11π}{12}$]时不等式f（x）+ag（-x）＞0恒成立，
∴a$＜-\sqrt{2}$或a$＞\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角函数的化简，考查函数的最值，考查恒成立，正确求出函数的解析式是关键．