Question

16．给出下列命题：
①命题：“?x₀＞0，sinx₀≤x”的否定是：“?_x＞0，sinx＞x”；
②函数f（x）=sinx+$\frac{2}{sinx}$（x∈（0，π））的最小值是2$\sqrt{2}$；
③在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰或直角三角形；
④设m，n为直线，α为平面，若m∥n，m∥α，则n∥α．
其中正确命题的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①利用命题的否定定义即可判断正误；
②函数f（x）=sinx+$\frac{2}{sinx}$（x∈（0，π）），令sinx=t∈（0，1），则g（t）=t+$\frac{2}{t}$，利用导数研究其单调性极值，即可判断正误；
③在△ABC中，若sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=π，即可判断正误；
④由条件可得：n∥α或n?α，即可判断正误．

解答 解：①命题：“?x₀＞0，sinx₀≤x”的否定是：“?x＞0，sinx＞x”，正确；
②函数f（x）=sinx+$\frac{2}{sinx}$（x∈（0，π）），令sinx=t∈（0，1]，则g（t）=t+$\frac{2}{t}$，g′（t）=1-$\frac{2}{{t}^{2}}$＜0，
因此函数g（t）在（0，1]单调递减，有最小值3，因此不正确；
③在△ABC中，若sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=π，因此△ABC是等腰或直角三角形，正确；
④设m，n为直线，α为平面，若m∥n，m∥α，则n∥α或n?α，因此不正确．
其中正确命题的个数是2．
故选：B．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、利用导数研究函数的单调性与极值、解三角形、线面平行的判定定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．