Question

6．△ABC中，内角A，B，C所对的边a，b，c，满足2b²=3ac，且∠B=60°，求∠A．

Answer 1

分析 由题设条件，A+C=$\frac{2π}{3}$，再由正弦定理将条件2b²=3ac转化为角的正弦的关系，结合cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC求得cosAcosC=0，从而解出A．

解答 解：B=$\frac{π}{3}$，
故有：A+C=$\frac{2π}{3}$，
由2b²=3ac得：2sin²B=3sinAsinC=$\frac{3}{2}$，
所以：sinAsinC=$\frac{1}{2}$，
所以：cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC=cosAcosC-$\frac{1}{2}$
即cosAcosC-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$，可得cosAcosC=0，
所以cosA=0或cosC=0，即A是直角或C是直角，
所以A是直角，或A=$\frac{π}{6}$

点评 本题考查三角形的内角和，两角和的余弦公式，正弦定理的作用边角互化，解题的关键是熟练掌握三角函数的相关公式，本题考查了转化的思想，有一定的探究性及综合性，属于中档题．