Question

15．已知函数f（x）=|log_ax|（a＞0且a≠1），给出下列说法：
①存在a的值，使得函数f（x）为偶函数；
②当a＞1时，函数f（x）在定义域上为增函数；
③当a=2时，函数f（x）在[$\frac{1}{2}$，4]的值域为[1，2]；
④当f（x₁）=f（x₂）且x₁≠x₂时，x₁•x₂=1；
⑤若f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃）且x₁＜x₂＜x₃，则0＜x₁＜1；
以上说法中正确的④⑤．

Answer 1

分析 由题意画出图形，结合图象可直接判断①②③错误；由f（x₁）=f（x₂），结合函数解析式可得log_ax₁x₂=0，即x₁•x₂=1，④正确；由函数的单调性可知⑤正确．

解答 解：分a＞1和0＜a＜1作出f（x）=|log_ax|的图象如图：

由图可知：函数f（x）=|log_ax|（a＞0且a≠1）不是偶函数，①错误；
当a＞1时，函数f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，②错误；
当a=2时，函数f（x）在[$\frac{1}{2}$，4]的值域为[0，2]，③错误；
若f（x₁）=f（x₂）且x₁≠x₂，则x₁，x₂必然一个属于（0，1），一个属于（1，+∞），
不妨设x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），
则当a＞1时，由f（x₁）=f（x₂），得|log_ax₁|=|log_ax₂|，∴-log_ax₁=log_ax₂，log_ax₁x₂=0，x₁•x₂=1．
当0＜a＜1时，由f（x₁）=f（x₂），得|log_ax₁|=|log_ax₂|，∴log_ax₁=-log_ax₂，log_ax₁x₂=0，x₁•x₂=1．④正确；
∵f（x）在（1，+∞）上为增函数，∴当x₁＜x₂＜x₃时，有f（x₁）＜f（x₂）＜f（x₃），
若f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃）且x₁＜x₂＜x₃，∴0＜x₁＜1．⑤正确．
∴正确的命题是④⑤．
故答案为：④⑤．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了与对数函数有关的函数的图象和性质，数形结合是解答该题的关键，是中档题．