Question

6．已知数列{a_n}满足$a{\;}_1=-\frac{1}{2}，{a_{n+1}}=\frac{-1}{{{a_n}+1}}（{n∈{N^*}}）$，点A_i（i，a_i）在x轴上的射影为点B_i（i∈N^*），若S_n=|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A_iB_i|+…+|A_nB_n|，则S₁₀=11．

Answer 1

分析 利用已知条件求出点A_i（i，a_i）的坐标，判断数列是周期数列，然后求解即可．

解答 解：数列{a_n}满足$a{\;}_1=-\frac{1}{2}，{a_{n+1}}=\frac{-1}{{{a_n}+1}}（{n∈{N^*}}）$，
可得a₂=-2，a₃=1，a₄=-$\frac{1}{2}$，a₅=-2，a₆=1，…
可知数列{a_n}是周期数列，周期为：3，
点A_i（i，a_i）在x轴上的射影为点B_i（i∈N^*），若S_n=|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A_iB_i|+…+|A_nB_n|，
S₁₀=$（\frac{1}{2}+2+1）×3+\frac{1}{2}$=11．
故答案为：11．

点评 本题考查数列求和，数列与函数相结合，考查分析问题解决问题的能力．