Question

1．设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件，存在[a，b]⊆D，使得f（x）在区间[a，b]上的值域为[$\frac{a}{n}$，$\frac{b}{n}$]（n∈N^*），则称f（x）为“n倍缩函数”，若函数f（x）=log₃（3^x+t）位“3倍缩函数”，则t的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （0，$\frac{2\sqrt{3}}{9}$）
• C． （0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 问题转化为t=${3}^{\frac{x}{3}}$-3^x有两个不同的解，令${3}^{\frac{x}{3}}$=m，换元可得t=m-m³有两个不同的正数解，即y=t与y=m-m³有两个不同交点，求导数可得y=m-m³在（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）上单调递增，在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）单调递减，可得y取最大值$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，可得t的范围．

解答 解：由题意可得[a，b]⊆D，使得log₃（3^a+t）=$\frac{a}{3}$，log₃（3^b+t）=$\frac{b}{3}$，
即方程log₃（3^x+t）=$\frac{x}{3}$有两个不同的解，即3^x+t=${3}^{\frac{x}{3}}$有两个不同的解，
变形可得t=${3}^{\frac{x}{3}}$-3^x有两个不同的解，令${3}^{\frac{x}{3}}$=m，则m＞0
换元可得t=m-m³有两个不同的正数解，
即y=t与y=m-m³有两个不同交点，
求导数可得y′=1-3m²，
由y′=1-3m²＜0可解得m＜-$\frac{\sqrt{3}}{3}$或m＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴y=m-m³在（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）上单调递增，在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）单调递减，
当m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，y取最大值$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，
∴要使y=t与y=m-m³有两个不同交点需0＜t＜$\frac{2\sqrt{3}}{9}$
故选：B

点评 本题考查函数的值域，涉及导数法判函数的单调性和转化的思想以及新定义，属中档题．