Question

15．P，A，B，C四点在同一球面上，∠BAC=135°，BC=2，PA⊥平面ABC且PA=2，则此球O的体积为4$\sqrt{3}$π．

Answer 1

分析 运用正弦定理可得△ABC的外接圆的直径2r，再由球的半径和球心到截面的距离、及截面圆的半径构成直角三角形，即可求得球的半径，再由球的体积公式计算即可得到．

解答 解：由于∠BAC=135°，BC=2，
则△ABC的外接圆的直径2r=$\frac{2}{sin135°}$=2$\sqrt{2}$，
即有r=$\sqrt{2}$，
由于PA⊥平面ABC且PA=2，所以球心O到平面ABC的距离为1，
则由勾股定理可得，球的半径R=$\sqrt{2+1}$=$\sqrt{3}$，
即有此球O的体积为V=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{4}{3}$π×（$\sqrt{3}$）³=4$\sqrt{3}$π．
故答案为：4$\sqrt{3}$π．

点评 本题考查球的体积的求法，主要考查球的截面的性质：球的半径和球心到截面的距离、及截面圆的半径构成直角三角形，同时考查正弦定理的运用：求三角形的外接圆的直径，属于中档题．