Question

【题目】已知函数f（x）=x2+（lga+2）x+lgb满足f（﹣1）=﹣2且对于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立．

（1）求实数a，b的值；

（2）解不等式f（x）＜x+5．

Answer 1

【答案】（1）100；（2）

【解析】试题分析：（1）由，代入函数解析式得到化简后得到关于 的等式记作②，又因为恒成立，把的解析式代入后，令0，根据平方大于等于0，即可求出 的值，把的值代入②即可求出的值；
（2）由（1）可确定出的解析式，然后解关于的一元二次不等式即可．

试题解析：（1）由f（﹣1）=﹣2知，lgb﹣lga+1=0①，所以②．

又f（x）≥2x恒成立，f（x）﹣2x≥0恒成立，

则有x2+xlga+lgb≥0恒成立，

故△=（lga）2﹣4lgb≤0，

将①式代入上式得：（lgb）2﹣2lgb+1≤0，即（lgb﹣1）2≤0，

故lgb=1即b=10，代入②得，a=100；

（2）由（1）知f（x）=x2+4x+1，f（x）＜x+5，

即x2+4x+1＜x+5，

所以x2+3x﹣4＜0，

解得﹣4＜x＜1，

因此不等式的解集为{x|﹣4＜x＜1}．